Analysis Beispiele

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2} - 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2} - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int {\sqrt{u + 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${\sqrt{u + 1}}^{2}$ als $u + 1$ um.

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Schritt 2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u + 1}$ als ${(u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int {({(u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int {(u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int {(u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int {(u + 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.1.5

Vereinfache.

$\int (u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{u}$ .

$\int (u + 1) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 2.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int (u + 1) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $u$ und $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 3.3

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 3.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 3.7

Addiere $2$ und $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2

Schreibe $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ als $\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 9.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$