Analysis Beispiele

$\int \frac{\sin (x)}{1 + \cos^{2} (x)} d x$

Schritt 1

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- d u = \sin (x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{1 + u^{2}} d u$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Schritt 4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ nach $u$ ist $\arctan (u) + C$ .

$- (\arctan (u) + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$- \arctan (u) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$- \arctan (\cos (x)) + C$