Analysis Beispiele

$\int_{\ln (2)}^{\ln (8)} \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + e^{x}$ . Dann ist $d u = e^{x} d x$ , folglich $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + e^{x}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $e^{x}$ .

$e^{x}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + e^{x}$ ein.

$u_{lower} = 1 + e^{\ln (2)}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$u_{lower} = 1 + 2$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

$u_{lower} = 3$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + e^{x}$ ein.

$u_{upper} = 1 + e^{\ln (8)}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$u_{upper} = 1 + 8$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $8$ .

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{3}^{9} \frac{1}{u} d u$

Schritt 2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{3}^{9}$

Schritt 3

Berechne $\ln (| u |)$ bei $9$ und $3$ .

$(\ln (| 9 |)) - \ln (| 3 |)$

Schritt 4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 9 |}{| 3 |})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $9$ ist $9$ .

$\ln (\frac{9}{| 3 |})$

Schritt 5.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\ln (\frac{9}{3})$

Schritt 5.3

Dividiere $9$ durch $3$ .

$\ln (3)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (3)$

Dezimalform:

$1.09861228 \dots$