Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (\frac{2 x}{3}) d x$

Schritt 1

Sei $u = \frac{2 x}{3}$ . Dann ist $d u = \frac{2}{3} d x$ , folglich $\frac{3}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{2 x}{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \frac{2 x}{3}$ ein.

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{3}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $2 \cdot 0$ heraus.

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3}$

Schritt 1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 (1)}$

Schritt 1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = \frac{3 (2 \cdot 0)}{3 \cdot 1}$

Schritt 1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \frac{2 \cdot 0}{1}$

Schritt 1.3.1.2.4

Dividiere $2 \cdot 0$ durch $1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \frac{2 x}{3}$ ein.

$u_{upper} = \frac{2 \frac{π}{2}}{3}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{π}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 π}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \frac{\frac{2 π}{2}}{3}$

Schritt 1.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{1}}{3}$

Schritt 1.5.2.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{2}{3}$ zu dividieren.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) (1 (\frac{3}{2})) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{3}{2} d u$

Schritt 2.3

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{3}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u) \cdot 3}{2} d u$

Schritt 2.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 \cos (u)}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{3}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{3}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\sin (u)$ bei $\frac{π}{3}$ und $0$ .

$\frac{3}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0))$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0))$

Schritt 5.2.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0)$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0)$

Schritt 5.2.4

Addiere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ und $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Dezimalform:

$1.29903810 \dots$