Analysis Beispiele

$\int_{0}^{5} \sqrt{y + 4} d y$

Schritt 1

Sei $u = y + 4$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = y + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 4$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

Schritt 1.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $y$ in $u = y + 4$ ein.

$u_{lower} = 0 + 4$

Schritt 1.3

Addiere $0$ und $4$ .

$u_{lower} = 4$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $y$ in $u = y + 4$ ein.

$u_{upper} = 5 + 4$

Schritt 1.5

Addiere $5$ und $4$ .

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{4}^{9} \sqrt{u} d u$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $9$ und $4$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $27$ .

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $3$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.3.3.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$18 - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

Schritt 4.4.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 8$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$18 - 8 (\frac{2}{3})$

Schritt 4.5.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{2}{3}$ .

$18 + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

Schritt 4.5.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$18 + \frac{- 16}{3}$

Schritt 4.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$18 - \frac{16}{3}$

Schritt 4.6

Vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

Schritt 4.6.2

Kombiniere $18$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

Schritt 4.6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

Schritt 4.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.4.1

Mutltipliziere $18$ mit $3$ .

$\frac{54 - 16}{3}$

Schritt 4.6.4.2

Subtrahiere $16$ von $54$ .

$\frac{38}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{38}{3}$

Dezimalform:

$12.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$12 \frac{2}{3}$