Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

Schritt 1

Schreibe $x^{8}$ als ${(x^{4})}^{2}$ um.

$\int \frac{x^{3}}{1 + {(x^{4})}^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{4}$ . Dann ist $d u = 4 x^{3} d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{4}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + u^{2}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 4} d u$

Schritt 3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $1 + u^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (1 + u^{2})} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Schritt 5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ nach $u$ ist $\arctan (u) + C$ .

$\frac{1}{4} (\arctan (u) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$\frac{1}{4} \arctan (u) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$\frac{1}{4} \arctan (x^{4}) + C$