Analysis Beispiele

$\int_{0}^{3} \sqrt{y + 1} d y$

Schritt 1

Sei $u = y + 1$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = y + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $y$ in $u = y + 1$ ein.

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 1.3

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $y$ in $u = y + 1$ ein.

$u_{upper} = 3 + 1$

Schritt 1.5

Addiere $3$ und $1$ .

$u_{upper} = 4$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $4$ und $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{16 - 2}{3}$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2$ von $16$ .

$\frac{14}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{14}{3}$

Dezimalform:

$4.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$4 \frac{2}{3}$