Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} (x + 1) e^{x^{2} + 2 x} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2} + 2 x$ . Dann ist $d u = (2 x + 2) d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2} + 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x + 2$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 2 x$ ein.

$u_{lower} = 1^{2} + 2 \cdot 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 1$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

$u_{lower} = 3$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 2 x$ ein.

$u_{upper} = 3^{2} + 2 \cdot 3$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$u_{upper} = 9 + 2 \cdot 3$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$u_{upper} = 9 + 6$

Schritt 1.5.2

Addiere $9$ und $6$ .

$u_{upper} = 15$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 15$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{3}^{15} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{3}^{15} \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{3}^{15} e^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{u}]_{3}^{15}$

Schritt 5

Berechne $e^{u}$ bei $15$ und $3$ .

$\frac{1}{2} (e^{15} - e^{3})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2} \cdot (e^{15} - e^{3})$

Dezimalform:

$1634498.64346759$