Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

Schritt 1

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \cos (x)$ ein.

$u_{lower} = \cos (0)$

Schritt 1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \cos (x)$ ein.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Berechne $\frac{1}{4} u^{4}$ bei $\frac{1}{2}$ und $1$ .

$- ((\frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\frac{1}{4}$ als $4^{- 1}$ um.

$- (4^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Schritt 4.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- ({(2^{2})}^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Schritt 4.2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{2 \cdot - 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- (2^{- 2} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Schritt 4.2.5

Schreibe $\frac{1}{2}$ als $2^{- 1}$ um.

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Schritt 4.2.6

Potenziere $2$ mit $1$ .

$- (2^{- 2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Schritt 4.2.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{- 2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Schritt 4.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Schritt 4.2.9

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{- 1})}^{4}$ .

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Schritt 4.2.9.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 1 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Schritt 4.2.9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Schritt 4.2.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- (2^{- 2 - 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Schritt 4.2.11

Subtrahiere $4$ von $- 2$ .

$- (2^{- 6} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Schritt 4.2.12

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\frac{1}{2^{6}} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Schritt 4.2.13

Potenziere $2$ mit $6$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4})$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Um $- \frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{16})$

Schritt 4.4.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $64$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{4 \cdot 16})$

Schritt 4.4.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{64})$

Schritt 4.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1 - 16}{64}$

Schritt 4.4.4

Subtrahiere $16$ von $1$ .

$- \frac{- 15}{64}$

Schritt 4.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{15}{64}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{15}{64})$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $\frac{15}{64}$ mit $1$ .

$\frac{15}{64}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{15}{64}$

Dezimalform:

$0.234375$