Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Schritt 1

Sei $u = \cos (t)$ . Dann ist $d u = - \sin (t) d t$ , folglich $- d u = \sin (t) d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \cos (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\cos (t)$ nach $t$ ist $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = \cos (t)$ ein.

$u_{lower} = \cos (0)$

Schritt 1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = \cos (t)$ ein.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} - \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{- 2} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$- (- u^{- 1}]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Schritt 6

Berechne $- u^{- 1}$ bei $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $1$ .

$- ((- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 7

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1^{- 1})$

Schritt 8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1)$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- (- \frac{2}{\sqrt{2}} + 1)$

Dezimalform:

$0.41421356 \dots$