Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} \frac{x}{{(1 + 2 x^{2})}^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + 2 x^{2}$ . Dann ist $d u = 4 x d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + 2 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$0 + 4 x$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $4 x$ .

$4 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + 2 x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + 2 x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Multipliziere $2$ mit $2^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{2}$ .

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Schritt 1.5.1.1.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

Schritt 1.5.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

Schritt 1.5.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Schritt 1.5.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $8$ .

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2} \cdot 4} d u$

Schritt 2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{4 u^{2}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{- 2} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} - u^{- 1}]_{1}^{9}$

Schritt 6

Berechne $- u^{- 1}$ bei $9$ und $1$ .

$\frac{1}{4} ((- 9^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1^{- 1})$

Schritt 8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + \frac{9}{9})$

Schritt 9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1 + 9}{9}$

Schritt 9.3

Addiere $- 1$ und $9$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{9}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{4 \cdot 9}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$\frac{8}{36}$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $36$ .

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 (2)}{36}$

Schritt 10.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

Schritt 10.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

Schritt 10.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{9}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2}{9}$

Dezimalform:

$0.\overline{2}$