Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \sec (2 x)$ . Dann ist $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \sec (2 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sec (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\sec (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Schritt 1.1.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = \sec (2 x)$ ein.

$u_{lower} = \sec (2 \cdot 0)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Schritt 1.3.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = \sec (2 x)$ ein.

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{6})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{2 (3)})$

Schritt 1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Schritt 1.5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{3})$

Schritt 1.5.2

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{3})$ ist $2$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{1}{2} u_{2}$ bei $2$ und $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - \frac{1}{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - 1}{2}$

Schritt 3.4.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$