Analysis Beispiele

$\int \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} d x$

Schritt 1

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- d u = \sin (x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \int u^{- 2} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$- (- u^{- 1} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe $- (- u^{- 1} + C)$ als $- - \frac{1}{u} + C$ um.

$- - \frac{1}{u} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{u} + C$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $1$ .

$\frac{1}{u} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + C$

Schritt 8

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\sec (x) + C$