Analysis Beispiele

$\int \frac{- 20}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Das Integral konnte nicht mittels Substitution gelöst werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{20}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{20}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

Schritt 4

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $20$ aus dem Integral.

$- (20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x)$

Schritt 5

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

Schritt 6

Sei $x = \frac{5}{\sqrt{7}} \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7}$ positiv ist.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache $\sqrt{25 - 7 {(\frac{5}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.2.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.2.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.3

Kombiniere $\frac{5 \sqrt{7}}{7}$ und $\sin (t)$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7} \sin (t)}{7})}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5 \sqrt{7} \sin (t)}{7}$ an.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{{(5 \sqrt{7} \sin (t))}^{2}}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.4.2

Wende die Produktregel auf $5 \sqrt{7} \sin (t)$ an.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{{(5 \sqrt{7})}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.4.3

Wende die Produktregel auf $5 \sqrt{7}$ an.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{5^{2} {\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.5.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 {\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.5.2

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.5.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.5.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.5.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{1} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.5.2.5

Berechne den Exponenten.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7 \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.5.3

Mutltipliziere $25$ mit $7$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.6

Potenziere $7$ mit $2$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{175 \sin^{2} (t)}{49}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.7.1

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 + 7 (- 1) \frac{175 \sin^{2} (t)}{49}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.7.2

Faktorisiere $7$ aus $49$ heraus.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 + 7 \cdot - 1 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7 \cdot 7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 + 7 \cdot - 1 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7 \cdot 7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $175$ und $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.8.1

Faktorisiere $7$ aus $175 \sin^{2} (t)$ heraus.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{7 (25 \sin^{2} (t))}{7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.8.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{7 (25 \sin^{2} (t))}{7 (1)}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{7 (25 \sin^{2} (t))}{7 \cdot 1}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{25 \sin^{2} (t)}{1}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.8.2.4

Dividiere $25 \sin^{2} (t)$ durch $1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 (25 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.1.9

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $25$ aus $- 25 \sin^{2} (t)$ heraus.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.4

Faktorisiere $25$ aus $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.6

Schreibe $25 \cos^{2} (t)$ als ${(5 \cos (t))}^{2}$ um.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- 20 \int \frac{1}{5 \cos (t)} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

Schritt 7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5 \cos (t)}$ mit $\frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7}$ .

$- 20 \int \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{5 \cos (t) \cdot 7} d t$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $5$ .

$- 20 \int \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{35 \cos (t)} d t$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $35$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \sqrt{7} \cos (t)$ heraus.

$- 20 \int \frac{5 (\sqrt{7} \cos (t))}{35 \cos (t)} d t$

Schritt 7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $35 \cos (t)$ heraus.

$- 20 \int \frac{5 (\sqrt{7} \cos (t))}{5 (7 \cos (t))} d t$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 20 \int \frac{5 (\sqrt{7} \cos (t))}{5 (7 \cos (t))} d t$

Schritt 7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 20 \int \frac{\sqrt{7} \cos (t)}{7 \cos (t)} d t$

Schritt 7.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 20 \int \frac{\sqrt{7} \cos (t)}{7 \cos (t)} d t$

Schritt 7.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 20 \int \frac{\sqrt{7}}{7} d t$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$- 20 (\frac{\sqrt{7}}{7} t + C)$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Schreibe $- 20 (\frac{\sqrt{7}}{7} t + C)$ als $- 20 \frac{\sqrt{7}}{7} t + C$ um.

$- 20 \frac{\sqrt{7}}{7} t + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Kombiniere $- 20$ und $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$\frac{- 20 \sqrt{7}}{7} t + C$

Schritt 9.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{20 \sqrt{7}}{7} t + C$

Schritt 9.3

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{\sqrt{7} x}{5})$ .

$- \frac{20 \sqrt{7}}{7} \arcsin (\frac{\sqrt{7} x}{5}) + C$

Schritt 9.4

Stelle die Terme um.

$- \frac{20 \sqrt{7}}{7} \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{5} x) + C$