Analysis Beispiele

$\int (1 + \cos (3 x)) d x$

Schritt 1

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (1 + \cos (u)) \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int 1 + \cos (u) d u$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} (\int d u + \int \cos (u) d u)$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} (u + C + \int \cos (u) d u)$

Schritt 5

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{3} (u + C + \sin (u) + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$\frac{1}{3} (u + \sin (u)) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 x + \sin (3 x)) + C$

Schritt 8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} (3 x) + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{1}{3} (3 (x)) + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 x) + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Schritt 8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Schritt 8.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sin (3 x)$ .

$x + \frac{\sin (3 x)}{3} + C$

Schritt 9

Stelle die Terme um.

$x + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$