Analysis Beispiele

$\int \frac{\tan^{-1} (x)}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = \tan^{-1} (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$ , folglich $- d u = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \tan^{-1} (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\tan^{-1} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan^{-1} (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\tan^{-1} (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4

Ordne Terme um.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C$

Schritt 3

Ersetze alle $u$ durch $\tan^{-1} (x)$ .

$\frac{1}{2} {\tan^{-1} (x)}^{2} + C$