Analysis Beispiele

$\int 8 x \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{- 2 x} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - 4 \sqrt{u} d u$

Schritt 2

Da $- 4$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$- 4 \int \sqrt{u} d u$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 4 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- 4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $- 4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $- 4 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$- 4 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 5.2

Schreibe $- 4 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ als $\frac{- 8}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{- 8}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$- \frac{8}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$