Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{8 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - 4 x^{2}$ . Dann ist $d u = - 8 x d x$ , folglich $\frac{1}{- 8 x} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - 4 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$0 - 8 x$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $8 x$ von $0$ .

$- 8 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 - 4 x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 - 4 x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 1 - 4 {(\frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Schritt 1.5.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1}{4^{2}}$

Schritt 1.5.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$u_{upper} = 1 - 4 (\frac{1}{16})$

Schritt 1.5.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$u_{upper} = 1 + 4 (- 1) \frac{1}{16}$

Schritt 1.5.1.4.2

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.5.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = 1 - 1 (\frac{1}{4})$

Schritt 1.5.1.5

Schreibe $- 1 (\frac{1}{4})$ als $- (\frac{1}{4})$ um.

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

Schritt 1.5.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 1.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

Schritt 1.5.4

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}})$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Berechne $2 u^{\frac{1}{2}}$ bei $\frac{3}{4}$ und $1$ .

$- ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Dezimalform:

$0.26794919 \dots$