Analysis Beispiele

$\int \sin (2 x) \cos (2 x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \sin (2 x)$ . Dann ist $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \sin (2 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 1.1.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2

Kombiniere $u_{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 5.2

Schreibe $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ als $\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$ um.

$\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{4} \sin^{2} (2 x) + C$