Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt{1 + 2 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + 2 x^{2}$ . Dann ist $d u = 4 x d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + 2 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$0 + 4 x$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $4 x$ .

$4 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + 2 x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + 2 x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Multipliziere $2$ mit $2^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{2}$ .

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Schritt 1.5.1.1.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

Schritt 1.5.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

Schritt 1.5.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Schritt 1.5.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $8$ .

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Schritt 2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Berechne $2 u^{\frac{1}{2}}$ bei $9$ und $1$ .

$\frac{1}{4} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{4} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4} (6 - 2 \cdot 1)$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (6 - 2)$

Schritt 6.3.4

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$\frac{1}{4} \cdot 4$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$\frac{4}{4}$

Schritt 6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{4}$

Schritt 6.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1$