Analysis Beispiele

$\int \frac{1 + x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 1

Zerlege den Bruch $\frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ in zwei Brüche.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C$ .

$\arctan (x) + C + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 5

Sei $u = 1 + x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 1 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 5.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\arctan (x) + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (x) + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\arctan (x) + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\arctan (x) + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$\arctan (x) + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$\arctan (x) + \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$