Analysis Beispiele

$\int (5 x^{2} - 3) (2 x) d x$

Schritt 1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $5 x^{2} - 3$ .

$\int 2 (5 x^{2} - 3) x d x$

Schritt 2

Sei $u = 2 (5 x^{2} - 3)$ . Dann ist $d u = 20 x d x$ , folglich $\frac{1}{20} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 2 (5 x^{2} - 3)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 (5 x^{2} - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [2 (5 x^{2} - 3)]$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 (5 x^{2} - 3)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$ .

$2 \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Schritt 2.1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$2 (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.1.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$2 (10 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.1.7

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (10 x + 0)$

Schritt 2.1.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.8.1

Addiere $10 x$ und $0$ .

$2 (10 x)$

Schritt 2.1.8.2

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$20 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u \frac{1}{20} d u$

Schritt 3

Kombiniere $u$ und $\frac{1}{20}$ .

$\int \frac{u}{20} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{20}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{20}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{20} \int u d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{20} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{20} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ als $\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ um.

$\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Schritt 6.2

Schreibe $\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ als $\frac{1}{40} u^{2} + C$ um.

$\frac{1}{40} u^{2} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $2 (5 x^{2} - 3)$ .

$\frac{1}{40} {(2 (5 x^{2} - 3))}^{2} + C$