Analysis Beispiele

$\int x \sqrt{1 - x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - (- u + 1) \sqrt{u} d u$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int (- u + 1) \sqrt{u} d u$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \int (- u + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4

Multipliziere $(- u + 1) u^{\frac{1}{2}}$ aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \int - u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4.2

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- \int - (u \cdot u^{\frac{1}{2}}) + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4.3

Potenziere $u$ mit $1$ .

$- \int - (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \int - u^{1 + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \int - u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \int - u^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4.7

Addiere $2$ und $1$ .

$- \int - u^{\frac{3}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $u^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$- \int - u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4.9

Stelle $- u^{\frac{3}{2}}$ und $u^{\frac{1}{2}}$ um.

$- \int u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Schritt 9

Vereinfache.

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$- (\frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5} {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 11.1.2

Kombiniere ${(1 - x)}^{\frac{5}{2}}$ und $\frac{2}{5}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

Schritt 11.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(1 - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 11.2

Um $\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Schritt 11.3

Um $- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Schritt 11.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Schritt 11.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Schritt 11.4.3

Mutltipliziere $\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}) + C$

Schritt 11.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$- (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15}) + C$

Schritt 11.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Schritt 11.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$- \frac{10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

Schritt 11.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- \frac{10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{15} (10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$