Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{{\sqrt{- u + 1}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Schreibe ${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ als $- u + 1$ um.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- u + 1}$ als ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{{({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{{(- u + 1)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

$\int \frac{- u + 1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{- u + 1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{- u + 1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{- u + 1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Schritt 2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\int - \frac{- u + 1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{- u + 1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{- u + 1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{2} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 5.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int (- u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int (- u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int (- u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} \int (- u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Multipliziere $(- u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{2} \int - u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6.2

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- \frac{1}{2} \int - (u \cdot u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6.3

Potenziere $u$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2} \int - u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} \int - u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} \int - u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6.7

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$- \frac{1}{2} \int - u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $u^{- \frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6.9

Stelle $- u^{\frac{1}{2}}$ und $u^{- \frac{1}{2}}$ um.

$- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \frac{1}{2} (\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

Schritt 11

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Kombiniere ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) + C$

Schritt 13.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Schritt 13.2

Um $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Schritt 13.3

Kombiniere $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Schritt 13.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 13.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 13.6

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

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Schritt 13.6.1

Mutltipliziere $\frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 2} + C$

Schritt 13.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{6} + C$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{6} (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$