Analysis Beispiele

$\int x e^{- x^{2}} d x$ , $u = - x^{2}$

Schritt 1

Wenn $u = - x^{2}$ . Dann $d u = - 2 x d x$ . Umschreibe dies mit $u$ und $d u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 x)$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Schritt 4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} e^{u} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C$