Analysis Beispiele

$\int \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} d x$

Schritt 1

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- d u = \sin (x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{u^{3}} d u$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $u^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \int u^{- 3} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 3}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere $u^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 6.1.2

Bringe $u^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

Schritt 6.2

Vereinfache.

$- - \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 u^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 u^{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 \cos^{2} (x)} + C$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{1}{2 (\cos^{2} (x) \cdot 1)} + C$

Schritt 8.2

Separiere Brüche.

$\frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + C$

Schritt 8.3

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ nach $\sec^{2} (x)$ um.

$\frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (x) + C$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$

Schritt 8.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Schritt 8.6

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$