Analysis Beispiele

$\int x \sqrt{5 + 2 x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 5 + 2 x^{2}$ . Dann ist $d u = 4 x d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 5 + 2 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $5 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 + 2 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$0 + 4 x$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $4 x$ .

$4 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2

Schreibe $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ als $\frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $5 + 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{6} {(5 + 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$