Analysis Beispiele

$\int {(1 + \frac{1}{t})}^{3} (\frac{1}{t^{2}}) d t$

Schritt 1

Kombiniere ${(1 + \frac{1}{t})}^{3}$ und $\frac{1}{t^{2}}$ .

$\int \frac{{(1 + \frac{1}{t})}^{3}}{t^{2}} d t$

Schritt 2

Sei $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{t^{2}} d t$ , folglich $- d u = \frac{1}{t^{2}} d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $1 + \frac{1}{t}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \frac{1}{t}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \frac{1}{t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Schreibe $\frac{1}{t}$ als $t^{- 1}$ um.

$0 + \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - t^{- 2}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{t^{2}}$

Schritt 2.1.4.2

Subtrahiere $\frac{1}{t^{2}}$ von $0$ .

$- \frac{1}{t^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - u^{3} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int u^{3} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Schritt 5

Schreibe $- (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ als $- \frac{1}{4} u^{4} + C$ um.

$- \frac{1}{4} u^{4} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $1 + \frac{1}{t}$ .

$- \frac{1}{4} {(1 + \frac{1}{t})}^{4} + C$