Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} (x^{3} + x) {(x^{4} + 2 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ . Dann ist $d u = (4 x^{3} + 4 x) d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = (x^{3} + x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{4} + 2 x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{2} + 9]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 2 x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} + 4 x + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $4 x^{3} + 4 x$ und $0$ .

$4 x^{3} + 4 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ ein.

$u_{lower} = 0^{4} + 2 \cdot 0^{2} + 9$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0^{2} + 9$

Schritt 1.3.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 + 9$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 9$

Schritt 1.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$u_{lower} = 0 + 9$

Schritt 1.3.3

Addiere $0$ und $9$ .

$u_{lower} = 9$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ ein.

$u_{upper} = 1^{4} + 2 \cdot 1^{2} + 9$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1^{2} + 9$

Schritt 1.5.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1 + 9$

Schritt 1.5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2 + 9$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$u_{upper} = 3 + 9$

Schritt 1.5.3

Addiere $3$ und $9$ .

$u_{upper} = 12$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 12$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{9}^{12} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\int_{9}^{12} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{12} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{12}$

Schritt 5

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $12$ und $9$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 12^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $12^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 5.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 5.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

Schritt 5.3.1.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

Schritt 5.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $27$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

Schritt 5.3.2.2

Kombiniere $- 27$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

Schritt 5.3.2.3

Mutltipliziere $- 27$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 54}{3})$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 54$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 54$ heraus.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

Schritt 5.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

Schritt 5.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

Schritt 5.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 18}{1})$

Schritt 5.3.2.4.2.4

Dividiere $- 18$ durch $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{4} \cdot (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

Dezimalform:

$2.42820323 \dots$