Analysis Beispiele

$\int x^{2} \sqrt{1 + x} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 1 + x$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 1 + x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int {(u_{1} - 1)}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int {(u_{1} - 1)}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Schritt 3

Sei $u_{2} = u_{1} - 1$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{2} = u_{1} - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $u_{1} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u_{1} - 1$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Schritt 3.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Schritt 4

Sei $u_{3} = u_{2} + 1$ . Dann ist $d u_{3} = d u_{2}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{3} = u_{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} + 1]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u_{2} + 1$ nach $u_{2}$ $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Schritt 4.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{2}$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$\int {(u_{3} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe ${(u_{3} - 1)}^{2}$ als $(u_{3} - 1) (u_{3} - 1)$ um.

$\int (u_{3} - 1) (u_{3} - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u_{3} (u_{3} - 1) - 1 (u_{3} - 1)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 1 - 1 (u_{3} - 1)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 1 - 1 u_{3} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (- 1 u_{3} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + u_{3} \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (- 1 u_{3} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + u_{3} \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.8

Stelle $u_{3}$ und $- 1$ um.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.9

Potenziere $u_{3}$ mit $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.10

Potenziere $u_{3}$ mit $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.12

Addiere $1$ und $1$ .

$\int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {u_{3}}^{2 + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.14

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int {u_{3}}^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.15

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.17.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{4 + 1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.17.2

Addiere $4$ und $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.18

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - (u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.19

Potenziere $u_{3}$ mit $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.21

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.23

Addiere $2$ und $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.24

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - (u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.25

Potenziere $u_{3}$ mit $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.26

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.27

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.28

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.29

Addiere $2$ und $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.30

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.31

Mutltipliziere ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.32

Subtrahiere ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ von $- {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 5.33

Stelle $- 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ und ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ um.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ nach $u_{3}$ gleich $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ nach $u_{3}$ gleich $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 9

Da $- 2$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ nach $u_{3}$ gleich $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C - 2 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C - 2 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{2}{5}) {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 11.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 12

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 12.1

Ersetze alle $u_{3}$ durch $u_{2} + 1$ .

$\frac{2}{7} {(u_{2} + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(u_{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 12.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $u_{1} - 1$ .

$\frac{2}{7} {(u_{1} - 1 + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(u_{1} - 1 + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(u_{1} - 1 + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 12.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + x$ .

$\frac{2}{7} {(1 + x - 1 + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(1 + x - 1 + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(1 + x - 1 + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$