Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{3}}{{(1 + x^{4})}^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + x^{4}$ . Dann ist $d u = 4 x^{3} d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + x^{4}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{4}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 4} d u$

Schritt 2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 u^{2}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{- 2} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} (- u^{- 1} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{4} (- u^{- 1} + C)$ als $\frac{1}{4} (- \frac{1}{u}) + C$ um.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{u}) + C$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{4 u} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{4}$ .

$- \frac{1}{4 (1 + x^{4})} + C$