Analysis Beispiele

$\int x e^{2 x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{u}{2} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{u}{2}$ und $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{u e^{u}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2 \cdot 2} d u$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{u e^{u}}{4} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int u e^{u} d u$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u$ und $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{4} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Schritt 5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Schritt 6

Vereinfache.

$\frac{1}{4} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{4} (2 x e^{2 x} - e^{2 x}) + C$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2 (2)} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Schritt 8.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x e^{2 x}$ heraus.

$\frac{1}{2 (2)} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Schritt 8.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Schritt 8.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Schritt 8.3

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x}{2} e^{2 x} + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{x}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{1}{4} (- e^{2 x}) + C$

Schritt 8.5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Schritt 9

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$