Analysis Beispiele

$\int (x + 1) \sqrt{2 - x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 - x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (- (- u + 2) - 1) \sqrt{u} d u$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int (- (- u + 2) - 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3

Multipliziere $(- (- u + 2) - 1) u^{\frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (- - u - 1 \cdot 2 - 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (- - u - 1 \cdot 2) u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int - - u u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.4

Versetze die Klammern.

$\int - - 1 u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int 1 u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.7

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.9

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.11

Addiere $2$ und $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3.13

Subtrahiere $1 u^{\frac{1}{2}}$ von $- 2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} - 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int - 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Da $- 3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - 3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - 3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 6}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 8.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 2}{1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8.2.3.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $2 - x$ .

$\frac{2}{5} {(2 - x)}^{\frac{5}{2}} - 2 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} + C$