Analysis Beispiele

$\int_{1}^{5} \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x - 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x - 1$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x - 1$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 5 - 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$u_{upper} = 10 - 1$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $1$ von $10$ .

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{9} \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.2

Kombinieren.

$\int_{1}^{9} \frac{2 (\frac{u}{2} + \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{9} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1}^{9} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{9} \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1}^{9} \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{9} \frac{u + 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{u + 1}{2 \sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u + 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u + 1}{4 \sqrt{u}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{u + 1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Multipliziere $(u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $u^{- \frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} + 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$ und $2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$

Schritt 10

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}}$ bei $9$ und $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 11.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 11.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 11.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{54}{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 12.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $3$ .

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Schritt 12.3.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 12.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 12.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 12.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (\frac{18}{1} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 12.3.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 13.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 13.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3^{1} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 13.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3 - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} (18 + 6 - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 14.2

Addiere $18$ und $6$ .

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 14.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 14.4

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 14.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2 \cdot 1))$

Schritt 14.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2))$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}))$

Schritt 15.2

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}))$

Schritt 15.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} (24 - \frac{2 + 2 \cdot 3}{3})$

Schritt 15.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} (24 - \frac{2 + 6}{3})$

Schritt 15.4.2

Addiere $2$ und $6$ .

$\frac{1}{4} (24 - \frac{8}{3})$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Um $24$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3})$

Schritt 16.2

Kombiniere $24$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3})$

Schritt 16.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{24 \cdot 3 - 8}{3}$

Schritt 16.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.4.1

Mutltipliziere $24$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{72 - 8}{3}$

Schritt 16.4.2

Subtrahiere $8$ von $72$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{64}{3}$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{64}{3}$ .

$\frac{64}{4 \cdot 3}$

Schritt 17.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{64}{12}$

Schritt 17.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $12$ .

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Schritt 17.3.1

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$\frac{4 (16)}{12}$

Schritt 17.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 \cdot 16}{4 \cdot 3}$

Schritt 17.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 16}{4 \cdot 3}$

Schritt 17.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16}{3}$

Schritt 18

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{16}{3}$

Dezimalform:

$5.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$5 \frac{1}{3}$