Analysis Beispiele

$\int 125 x^{4} \sec (5 x^{5} - 4) \cdot \tan (5 x^{5} - 4) d x$

Schritt 1

Sei $u = 5 x^{5} - 4$ . Dann ist $d u = 25 x^{4} d x$ , folglich $\frac{1}{25 x^{4}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 5 x^{5} - 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $5 x^{5} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{5} - 4]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{5} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{5}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{5}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$25 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$25 x^{4} + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $25 x^{4}$ und $0$ .

$25 x^{4}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 5 \sec (u) \cdot \tan (u) d u$

Schritt 2

Da $5$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \sec (u) \cdot \tan (u) d u$

Schritt 3

Da die Ableitung von $\sec (u)$ gleich $\sec (u) \cdot \tan (u)$ ist, ist das Integral von $\sec (u) \cdot \tan (u)$ gleich $\sec (u)$ .

$5 (\sec (u) + C)$

Schritt 4

Vereinfache.

$5 \sec (u) + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $5 x^{5} - 4$ .

$5 \sec (5 x^{5} - 4) + C$