Analysis Beispiele

$\int 5 x \sqrt[3]{1 - x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 5 \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int 5 \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\int - 5 \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 5$ .

$\int \frac{- 5}{2} \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{- 5}{2}$ und $\sqrt[3]{u}$ .

$\int \frac{- 5 \sqrt[3]{u}}{2} d u$

Schritt 2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{5 \sqrt[3]{u}}{2} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{5 \sqrt[3]{u}}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{5}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{5}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{5}{2} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{5}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $- \frac{5}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ als $- \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ um.

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 7.2

Schreibe $- \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ als $- \frac{15}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$ um.

$- \frac{15}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$- \frac{15}{8} {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C$