Analysis Beispiele

$\int \sin (t) \sqrt{1 + \cos (t)} d t$

Schritt 1

Sei $u = 1 + \cos (t)$ . Dann ist $d u = - \sin (t) d t$ , folglich $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + \cos (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + \cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (t)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \cos (t)$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Schritt 1.1.3

Die Ableitung von $\cos (t)$ nach $t$ ist $- \sin (t)$ .

$0 - \sin (t)$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $\sin (t)$ von $0$ .

$- \sin (t)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \sqrt{u} d u$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 5

Schreibe $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $1 + \cos (t)$ .

$- \frac{2}{3} {(1 + \cos (t))}^{\frac{3}{2}} + C$