Analysis Beispiele

$4 \int \frac{1}{1 - x^{2}} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{1^{2} - x^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Schritt 1.1.3

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Schritt 1.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 1.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 1.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 1.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 1.1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 1.1.7.1.2

Dividiere $(A) (1 - x)$ durch $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 1.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 1.1.7.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 1.1.7.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 1.1.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 1.1.7.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 1.1.7.5.2

Dividiere $(B) (1 + x)$ durch $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Schritt 1.1.7.6

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Schritt 1.1.7.7

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Schritt 1.1.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.8.1

Bewege $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Schritt 1.1.8.2

Stelle $B$ und $x$ um.

$1 = A - x A + B + B x$

Schritt 1.1.8.3

Bewege $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Schritt 1.1.8.4

Bewege $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = - 1 A + B$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A + B$

Schritt 1.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 1.3.1

Löse in $1 = A + B$ nach $A$ auf.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + B = 1$ um.

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Schritt 1.3.1.2

Subtrahiere $B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Schritt 1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1 - B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = - 1 A + B$ durch $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.2.1

Vereinfache $- 1 (1 - B) + B$ .

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Schritt 1.3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Schritt 1.3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Schritt 1.3.2.2.1.1.3

Multipliziere $- 1 (- B)$ .

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Schritt 1.3.2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Schritt 1.3.2.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Schritt 1.3.2.2.1.2

Addiere $B$ und $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Schritt 1.3.3

Löse in $0 = - 1 + 2 B$ nach $B$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 + 2 B = 0$ um.

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Schritt 1.3.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Schritt 1.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Schritt 1.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Schritt 1.3.3.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Schritt 1.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $\frac{1}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $A = 1 - B$ durch $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.2.1

Vereinfache $1 - (\frac{1}{2})$ .

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Schritt 1.3.4.2.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 1.3.4.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 1.3.4.2.1.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 1.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Schritt 1.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Schritt 1.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{1 - x}$ .

$4 \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$4 (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Schritt 4

Sei $u_{1} = 1 + x$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{1} = 1 + x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 4.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

Schritt 7

Sei $u_{2} = 1 - x$ . Dann ist $d u_{2} = - d x$ , folglich $- d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{2} = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 7.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{2} |) + C)))$

Schritt 11

Vereinfache.

$4 (\frac{\ln (| u_{1} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C$

Schritt 12

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 12.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + x$ .

$4 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C$

Schritt 12.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 - x$ .

$4 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{\ln (| 1 + x |) - \ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Schritt 13.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Schritt 13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Schritt 13.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2 \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Schritt 13.3.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C$