Analysis Beispiele

$y = \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5}$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 5}]$ .

$4 \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 5}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = x^{3}$ und $g (y) = 2 x^{2} - 5$ .

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) \frac{d}{d y} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{3}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x$ .

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x$ .

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $2 x^{2} - 5$ .

$4 \frac{3 \cdot (2 x^{2} - 5) x^{2} \frac{d}{d y} [x] - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.6

Differenziere.

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Schritt 3.6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - 5$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (2 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (2 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (2 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (4 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.9

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (4 x x' + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.10

Da $- 5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (4 x x' + 0)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.11.1

Addiere $4 x x'$ und $0$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (4 x x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.11.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{3} (x x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 (x^{1} x^{3}) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{1 + 3} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.14

Addiere $1$ und $3$ .

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{4} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.15

Kombiniere $4$ und $\frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{4} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.16

Vereinfache.

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Schritt 3.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 ((3 (2 x^{2}) + 3 \cdot - 5) x^{2} x' - 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 ((3 (2 x^{2}) x^{2} + 3 \cdot - 5 x^{2}) x' - 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.16.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (3 (2 x^{2}) x^{2} x' + 3 \cdot - 5 x^{2} x' - 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.16.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (3 (2 x^{2}) x^{2} x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.16.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.16.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.16.5.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.16.5.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 (2 (x^{2} x^{2})) x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.16.5.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 (3 (2 x^{2 + 2}) x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.16.5.1.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{4 (3 (2 x^{4}) x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.16.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{4 (6 x^{4} x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.16.5.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$\frac{24 (x^{4} x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.16.5.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$\frac{24 x^{4} x' + 4 (- 15 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.16.5.1.5

Mutltipliziere $- 15$ mit $4$ .

$\frac{24 x^{4} x' - 60 (x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.16.5.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$\frac{24 x^{4} x' - 60 x^{2} x' - 16 x^{4} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.16.5.2

Subtrahiere $16 x^{4} x'$ von $24 x^{4} x'$ .

$\frac{8 x^{4} x' - 60 x^{2} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.16.6

Faktorisiere $4 x^{2} x'$ aus $8 x^{4} x' - 60 x^{2} x'$ heraus.

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Schritt 3.16.6.1

Faktorisiere $4 x^{2} x'$ aus $8 x^{4} x'$ heraus.

$\frac{4 x^{2} x' (2 x^{2}) - 60 x^{2} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.16.6.2

Faktorisiere $4 x^{2} x'$ aus $- 60 x^{2} x'$ heraus.

$\frac{4 x^{2} x' (2 x^{2}) + 4 x^{2} x' (- 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.16.6.3

Faktorisiere $4 x^{2} x'$ aus $4 x^{2} x' (2 x^{2}) + 4 x^{2} x' (- 15)$ heraus.

$\frac{4 x^{2} x' (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 3.16.7

Stelle die Faktoren in $\frac{4 x^{2} x' (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$ um.

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} = 1$ um.

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} = 1$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit ${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} {(2 x^{2} - 5)}^{2} = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache $\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} {(2 x^{2} - 5)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} {(2 x^{2} - 5)}^{2} = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{2} (2 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 15) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1.1.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(4 \cdot 2 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 15) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.1.3.2

Mutltipliziere $- 15$ mit $4$ .

$(4 \cdot 2 x^{2} x^{2} - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1.2.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.1.2.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$(4 \cdot 2 (x^{2} x^{2}) - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(4 \cdot 2 x^{2 + 2} - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.2.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$(4 \cdot 2 x^{4} - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$(8 x^{4} - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.3

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 5.3.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x^{4} x' - 60 x^{2} x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.3.2

Stelle um.

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Schritt 5.3.1.1.3.2.1

Bewege $x^{4}$ .

$8 x' x^{4} - 60 x^{2} x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.3.2.2

Bewege $x^{2}$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere ${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ mit $1$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Schritt 5.4

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache ${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ .

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Schritt 5.4.1.1

Schreibe ${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ als $(2 x^{2} - 5) (2 x^{2} - 5)$ um.

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = (2 x^{2} - 5) (2 x^{2} - 5)$

Schritt 5.4.1.2

Multipliziere $(2 x^{2} - 5) (2 x^{2} - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 x^{2} (2 x^{2} - 5) - 5 (2 x^{2} - 5)$

Schritt 5.4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2} - 5)$

Schritt 5.4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

Schritt 5.4.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 \cdot 2 x^{2} x^{2} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

Schritt 5.4.1.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 \cdot 2 (x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

Schritt 5.4.1.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 \cdot 2 x^{2 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

Schritt 5.4.1.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 \cdot 2 x^{4} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

Schritt 5.4.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

Schritt 5.4.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 10 x^{2} - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

Schritt 5.4.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 10 x^{2} - 10 x^{2} - 5 \cdot - 5$

Schritt 5.4.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 10 x^{2} - 10 x^{2} + 25$

Schritt 5.4.1.3.2

Subtrahiere $10 x^{2}$ von $- 10 x^{2}$ .

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $4 x' x^{2}$ aus $8 x' x^{4} - 60 x' x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $4 x' x^{2}$ aus $8 x' x^{4}$ heraus.

$4 x' x^{2} (2 x^{2}) - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$

Schritt 5.4.2.2

Faktorisiere $4 x' x^{2}$ aus $- 60 x' x^{2}$ heraus.

$4 x' x^{2} (2 x^{2}) + 4 x' x^{2} \cdot - 15 = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$

Schritt 5.4.2.3

Faktorisiere $4 x' x^{2}$ aus $4 x' x^{2} (2 x^{2}) + 4 x' x^{2} \cdot - 15$ heraus.

$4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15) = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$

Schritt 5.4.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15) = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$ durch $4 x^{2} (2 x^{2} - 15)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15) = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$ durch $4 x^{2} (2 x^{2} - 15)$ .

$\frac{4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15)}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15)}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' x^{2} (2 x^{2} - 15)}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' x^{2} (2 x^{2} - 15)}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (2 x^{2} - 15)}{2 x^{2} - 15} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x^{2} - 15$ .

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Schritt 5.4.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (2 x^{2} - 15)}{2 x^{2} - 15} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.2.3.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.4.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{x^{4}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 5.4.3.3.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x' = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $4$ .

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Schritt 5.4.3.3.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 20 x^{2}$ heraus.

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{4 (- 5 x^{2})}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.3.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} (2 x^{2} - 15)$ heraus.

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{4 (- 5 x^{2})}{4 (x^{2} (2 x^{2} - 15))} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{4 (- 5 x^{2})}{4 (x^{2} (2 x^{2} - 15))} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.4.3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{- 5}{2 x^{2} - 15} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} - \frac{5}{2 x^{2} - 15} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{x^{2} - 5}{2 x^{2} - 15} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.3

Um $\frac{x^{2} - 5}{2 x^{2} - 15}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}$ .

$x' = \frac{x^{2} - 5}{2 x^{2} - 15} \cdot \frac{4 x^{2}}{4 x^{2}} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 x^{2} - 15) \cdot 4 x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.4.3.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} - 5}{2 x^{2} - 15}$ mit $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}$ .

$x' = \frac{(x^{2} - 5) (4 x^{2})}{(2 x^{2} - 15) (4 x^{2})} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.4.2

Stelle die Faktoren von $(2 x^{2} - 15) (4 x^{2})$ um.

$x' = \frac{(x^{2} - 5) (4 x^{2})}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{(x^{2} - 5) (4 x^{2}) + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.3.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x' = \frac{(x^{2} \cdot 4 - 5 \cdot 4) x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$x' = \frac{(4 \cdot x^{2} - 5 \cdot 4) x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.6.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$x' = \frac{(4 \cdot x^{2} - 20) x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x' = \frac{4 x^{2} x^{2} - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.6.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.3.3.6.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$x' = \frac{4 (x^{2} x^{2}) - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.6.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x' = \frac{4 x^{2 + 2} - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.6.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$x' = \frac{4 x^{4} - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.6.6

Schreibe $4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.4.3.3.6.6.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x' = \frac{4 {(x^{2})}^{2} - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.6.6.2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x' = \frac{4 u^{2} - 20 u + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.6.6.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.4.3.3.6.6.3.1

Schreibe $4 u^{2}$ als ${(2 u)}^{2}$ um.

$x' = \frac{{(2 u)}^{2} - 20 u + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.6.6.3.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x' = \frac{{(2 u)}^{2} - 20 u + 5^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.6.6.3.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$20 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 5$

Schritt 5.4.3.3.6.6.3.4

Schreibe das Polynom neu.

$x' = \frac{{(2 u)}^{2} - 2 \cdot (2 u) \cdot 5 + 5^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.6.6.3.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 2 u$ und $b = 5$ .

$x' = \frac{{(2 u - 5)}^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 5.4.3.3.6.6.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x' = \frac{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$