Analysis Beispiele

$f (x) = 7 - 6 x^{2} + 12 x^{3}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 7 - 6 x^{2} + 12 x^{3} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 7 d x + \int - 6 x^{2} d x + \int 12 x^{3} d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$7 x + C + \int - 6 x^{2} d x + \int 12 x^{3} d x$

Schritt 5

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 6$ aus dem Integral.

$7 x + C - 6 \int x^{2} d x + \int 12 x^{3} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$7 x + C - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 12 x^{3} d x$

Schritt 7

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$7 x + C - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 \int x^{3} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$7 x + C - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$7 x - 2 x^{3} + 12 (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$7 x - 2 x^{3} + 12 \frac{x^{4}}{4} + C$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $12$ und $\frac{x^{4}}{4}$ .

$7 x - 2 x^{3} + \frac{12 x^{4}}{4} + C$

Schritt 9.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $4$ .

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Schritt 9.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $12 x^{4}$ heraus.

$7 x - 2 x^{3} + \frac{4 (3 x^{4})}{4} + C$

Schritt 9.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$7 x - 2 x^{3} + \frac{4 (3 x^{4})}{4 (1)} + C$

Schritt 9.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 x - 2 x^{3} + \frac{4 (3 x^{4})}{4 \cdot 1} + C$

Schritt 9.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$7 x - 2 x^{3} + \frac{3 x^{4}}{1} + C$

Schritt 9.2.3.2.4

Dividiere $3 x^{4}$ durch $1$ .

$7 x - 2 x^{3} + 3 x^{4} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 7 - 6 x^{2} + 12 x^{3}$ .

$F (x) =$ $7 x - 2 x^{3} + 3 x^{4} + C$