Analysis Beispiele

$\int (2 \sqrt{x^{3}} + 7 \sqrt[3]{x^{2}}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int 2 \sqrt{x^{3}} + 7 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 \sqrt{x^{3}} d x + \int 7 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 7 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int 7 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int 7 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Schritt 6

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 7 \int \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Schritt 7

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 7 \int x^{\frac{2}{3}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + 7 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$2 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} + 7 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 7 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + 7 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Schritt 9.2.3

Kombiniere $7$ und $\frac{3}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{7 \cdot 3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{21}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$