Analysis Beispiele

$\sqrt[5]{x} - 2 e^{x}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt[5]{x} - 2 e^{x}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt[5]{x} - 2 e^{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt[5]{x} - 2 e^{x} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \sqrt[5]{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x}$ als $x^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$\int x^{\frac{1}{5}} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{5}}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}}$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C + \int - 2 e^{x} d x$

Schritt 7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C - 2 \int e^{x} d x$

Schritt 8

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C - 2 (e^{x} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} - 2 e^{x} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt[5]{x} - 2 e^{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} - 2 e^{x} + C$