Analysis Beispiele

$x^{2} = 4 y^{3} + 5 y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (4 y^{3} + 5 y^{2})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 y^{3} + 5 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 y^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$12 y^{2} y' + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$12 y^{2} y' + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$12 y^{2} y' + 5 (2 y y')$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$12 y^{2} y' + 10 y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x = 12 y^{2} y' + 10 y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $12 y^{2} y' + 10 y y' = 2 x$ um.

$12 y^{2} y' + 10 y y' = 2 x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2 y y'$ aus $12 y^{2} y' + 10 y y'$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2 y y'$ aus $12 y^{2} y'$ heraus.

$2 y y' (6 y) + 10 y y' = 2 x$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $2 y y'$ aus $10 y y'$ heraus.

$2 y y' (6 y) + 2 y y' \cdot 5 = 2 x$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' (6 y) + 2 y y' \cdot 5$ heraus.

$2 y y' (6 y + 5) = 2 x$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (6 y + 5) = 2 x$ durch $2 y (6 y + 5)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (6 y + 5) = 2 x$ durch $2 y (6 y + 5)$ .

$\frac{2 y y' (6 y + 5)}{2 y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y' (6 y + 5)}{2 y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (6 y + 5)}{y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (6 y + 5)}{y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (6 y + 5)}{6 y + 5} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6 y + 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (6 y + 5)}{6 y + 5} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x}{y (6 y + 5)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y (6 y + 5)}$