Analysis Beispiele

$\int \frac{3 (1 - \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)} d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} d x$

Schritt 2

Sei $u = \tan (x)$ . Dann ist $d u = \sec^{2} (x) d x$ , folglich $- d u = - \sec^{2} (x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \tan (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 \int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \int 1 (1 - u^{2}) d u$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $1 - u^{2}$ mit $1$ .

$3 \int 1 - u^{2} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$3 (\int d u + \int - u^{2} d u)$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$3 (u + C + \int - u^{2} d u)$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 (u + C - \int u^{2} d u)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Schritt 8

Vereinfache.

$3 (u - \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $\tan (x)$ .

$3 (\tan (x) - \frac{1}{3} \tan^{3} (x)) + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\tan^{3} (x)$ und $\frac{1}{3}$ .

$3 (\tan (x) - \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \tan (x) + 3 (- \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\tan^{3} (x)}{3}$ in den Zähler.

$3 \tan (x) + 3 \frac{- \tan^{3} (x)}{3} + C$

Schritt 10.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \tan (x) + 3 \frac{- \tan^{3} (x)}{3} + C$

Schritt 10.3.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \tan (x) - \tan^{3} (x) + C$