Analysis Beispiele

$y = - \frac{1}{5} x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{3} - 3 x^{- 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{5} x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{3} - 3 x^{- 1}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- \frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{5} x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$- \frac{1}{5} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$4 (\frac{1}{5}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $x^{- 5}$ .

$\frac{4 x^{- 5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Schritt 1.2.6

Bringe $x^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{- 1}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} - 3 (- x^{- 2})$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x^{- 2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.5.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}}$

Schritt 1.5.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{5 x^{5}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{5 x^{5}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $\frac{6}{2}$ und $x$ .

$\frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.6.2.4

Dividiere $3 x$ durch $1$ .

$3 x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 x + 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$3 x + 3 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$3 x + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 x + 3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$3 x + 3 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x + 3 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + 3 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$3 x + 3 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 x + 3 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x + 3 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x + 3 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$3 x + 3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $\frac{4}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{5 x^{5}}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Schritt 2.4.2

Schreibe $\frac{1}{x^{5}}$ als ${(x^{5})}^{- 1}$ um.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{5}$ .

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Schritt 2.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{5}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 2.4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 2.4.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{5}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Schritt 2.4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Schritt 2.4.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Schritt 2.4.7

Multipliziere $x^{- 10}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.7.1

Bewege $x^{4}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Schritt 2.4.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Schritt 2.4.7.3

Subtrahiere $10$ von $4$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{- 6})$

Schritt 2.4.8

Kombiniere $- 5$ und $\frac{4}{5}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 5 \cdot 4}{5} x^{- 6}$

Schritt 2.4.9

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20}{5} x^{- 6}$

Schritt 2.4.10

Kombiniere $\frac{- 20}{5}$ und $x^{- 6}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20 x^{- 6}}{5}$

Schritt 2.4.11

Bringe $x^{- 6}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20}{5 x^{6}}$

Schritt 2.4.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $5$ .

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Schritt 2.4.12.1

Faktorisiere $5$ aus $- 20$ heraus.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 x^{6}}$

Schritt 2.4.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.12.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{6}$ heraus.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 (x^{6})}$

Schritt 2.4.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 x^{6}}$

Schritt 2.4.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 4}{x^{6}}$

Schritt 2.4.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 x - 6 x^{- 3} - \frac{4}{x^{6}}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x - 6 \frac{1}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.2.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$3 x + \frac{- 6}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 3 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$