Analysis Beispiele

$y = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{2 x^{2}}$

Schritt 1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{2 x^{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ und $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x + 0)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (4 (x^{2} + 1) x) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Bewege $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot x^{2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1} x^{2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1 + 2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{x^{4}}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Schritt 9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} (4 x^{2} + 4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} (4 x^{2}) + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 x^{3} x^{2} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} x^{3}) + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{2 + 3} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.2.3

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{4 x^{5} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{5} + x^{3} \cdot 4 - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot x^{3} - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.5

Schreibe ${(x^{2} + 1)}^{2}$ als $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ um.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.6

Multipliziere $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1.7.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1.7.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.7.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.7.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.7.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.7.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.7.2

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.9.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.10

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1.11.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1.11.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.11.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1.11.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{1} x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.11.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.11.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.11.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1.11.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.11.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1.11.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 (x^{1} x^{2}) - 2 x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.11.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.1.11.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.1

Subtrahiere $4 x^{3}$ von $4 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} + 0 - 2 x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.2.2

Addiere $4 x^{5} - 2 x^{5}$ und $0$ .

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} - 2 x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.3.3

Subtrahiere $2 x^{5}$ von $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 2 x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{5} - 2 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{5}$ heraus.

$\frac{2 x (x^{4}) - 2 x}{2 x^{4}}$

Schritt 9.4.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 1)}{2 x^{4}}$

Schritt 9.4.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{4}) + 2 x (- 1)$ heraus.

$\frac{2 x (x^{4} - 1)}{2 x^{4}}$

Schritt 9.4.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 1)}{2 x^{4}}$

Schritt 9.4.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 1^{2})}{2 x^{4}}$

Schritt 9.4.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 1$ .

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1))}{2 x^{4}}$

Schritt 9.4.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}))}{2 x^{4}}$

Schritt 9.4.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{2 x^{4}}$

$\frac{2 x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{2 x^{4}}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{2 x^{4}}$

Schritt 9.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((x (x^{2} + 1)) (x + 1)) (x - 1)}{x^{4}}$

Schritt 9.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.6.1

Faktorisiere $x$ aus $((x (x^{2} + 1)) (x + 1)) (x - 1)$ heraus.

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x^{4}}$

Schritt 9.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 9.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 9.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1)}{x^{3}}$

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{3}}$