Analysis Beispiele

$\tan (x y) = x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (\tan (x y)) = \frac{d}{d y} (x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \tan (y)$ und $g (y) = x y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y$ .

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y) (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\sec^{2} (x y) (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\sec^{2} (x y) (x + y x')$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec^{2} (x y) x + \sec^{2} (x y) (y x')$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x'$

Schritt 3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x' = x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x'$ um.

$x \sec^{2} (x y) + y x' \sec^{2} (x y) = x'$

Schritt 5.2

Subtrahiere $x'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \sec^{2} (x y) + y x' \sec^{2} (x y) - x' = 0$

Schritt 5.3

Subtrahiere $x \sec^{2} (x y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x' \sec^{2} (x y) - x' = - x \sec^{2} (x y)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $x'$ aus $y x' \sec^{2} (x y) - x'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x'$ aus $y x' \sec^{2} (x y)$ heraus.

$x' (y \sec^{2} (x y)) - x' = - x \sec^{2} (x y)$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $x'$ aus $- x'$ heraus.

$x' (y \sec^{2} (x y)) + x' \cdot - 1 = - x \sec^{2} (x y)$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' (y \sec^{2} (x y)) + x' \cdot - 1$ heraus.

$x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$ durch $y \sec^{2} (x y) - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$ durch $y \sec^{2} (x y) - 1$ .

$\frac{x' (y \sec^{2} (x y) - 1)}{y \sec^{2} (x y) - 1} = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y \sec^{2} (x y) - 1$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (y \sec^{2} (x y) - 1)}{y \sec^{2} (x y) - 1} = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$