Analysis Beispiele

Let $h (x) = e^{2 x - 6} - e$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{2 x - 6} - e$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- e]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x - 6$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 6$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x - 6] + \frac{d}{d x} [- e]$

Schritt 1.1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x - 6] + \frac{d}{d x} [- e]$

Schritt 1.1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 6$ .

$e^{2 x - 6} \frac{d}{d x} [2 x - 6] + \frac{d}{d x} [- e]$

Schritt 1.1.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$e^{2 x - 6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- e]$

Schritt 1.1.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x - 6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- e]$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- e]$

Schritt 1.1.2.5

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- e]$

Schritt 1.1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$e^{2 x - 6} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [- e]$

Schritt 1.1.2.7

Addiere $2$ und $0$ .

$e^{2 x - 6} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e]$

Schritt 1.1.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x - 6}$ .

$2 e^{2 x - 6} + \frac{d}{d x} [- e]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.3.1

Da $- e$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 e^{2 x - 6} + 0$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $2 e^{2 x - 6}$ und $0$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x - 6}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $h (x)$ nach $x$ ist $2 e^{2 x - 6}$ .

$2 e^{2 x - 6}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 e^{2 x - 6} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 e^{2 x - 6} = 0$

Schritt 2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2 e^{2 x - 6}) = \ln (0)$

Schritt 2.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.4

Es gibt keine Lösung für $2 e^{2 x - 6} = 0$

Keine Lösung

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden