Analysis Beispiele

$\sqrt{5 - x}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{5 - x}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt{5 - x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt{5 - x} d x$

Schritt 4

Sei $u = 5 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 5 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $5 - x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - x]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.1.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - \sqrt{u} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \sqrt{u} d u$

Schritt 6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 8

Schreibe $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $5 - x$ .

$- \frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt{5 - x}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{3}{2}} + C$