Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} x \sin (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (x) d x$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + 1 \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$ mit $1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Schritt 4

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ und $\sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ bei $\frac{3 π}{2}$ und $\frac{π}{2}$ .

$(\frac{3 π}{2} (- \cos (\frac{3 π}{2})) + \sin (\frac{3 π}{2})) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Kombiniere $\frac{3 π}{2}$ und $\cos (\frac{3 π}{2})$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 5.2.2.2

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 5.2.2.3

Um $- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 5.2.2.4

Kombiniere $- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \frac{- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 5.2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 5.2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 5.3.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 (0)}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 5.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 5.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 5.3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- 0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 5.3.6

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 \cdot 1}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 5.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 5.3.8

Um $\sin (\frac{3 π}{2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.3.9

Kombiniere $\sin (\frac{3 π}{2})$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \frac{\sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Schritt 5.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Schritt 5.3.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + 2 \cdot \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Schritt 5.3.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 π \cos (\frac{3 π}{2})$ heraus.

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Schritt 5.3.13

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Schritt 5.3.14

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Schritt 5.3.15

Faktorisiere $- 1$ aus $2 \sin (\frac{3 π}{2})$ heraus.

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Schritt 5.3.16

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ heraus.

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Schritt 5.3.17

Schreibe $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ als $- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ um.

$\frac{- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Schritt 5.3.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- \frac{3 π \cos (\frac{π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Schritt 5.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- \frac{3 π \cdot 0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Schritt 5.4.3

Multipliziere $3 π \cdot 0$ .

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Schritt 5.4.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$- \frac{0 π + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Schritt 5.4.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Schritt 5.4.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- \frac{0 + 2 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2}$

Schritt 5.4.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 (- 1 \cdot 1)}{2}$

Schritt 5.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 \cdot - 1}{2}$

Schritt 5.4.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- \frac{0 + 2 + 2}{2}$

Schritt 5.4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0 + 2 + 2$ und $2$ .

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Schritt 5.4.8.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 + 2}{2}$

Schritt 5.4.8.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2}{2}$

Schritt 5.4.8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ heraus.

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2}{2}$

Schritt 5.4.8.4

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2 \cdot 1}{2}$

Schritt 5.4.8.5

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot (0 + 1) + 2 (1)$ heraus.

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2}$

Schritt 5.4.8.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.8.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 (1)}$

Schritt 5.4.8.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.8.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{0 + 1 + 1}{1}$

Schritt 5.4.8.6.4

Dividiere $0 + 1 + 1$ durch $1$ .

$- (0 + 1 + 1)$

Schritt 5.4.9

Addiere $0$ und $1$ .

$- (1 + 1)$

Schritt 5.4.10

Addiere $1$ und $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Schritt 5.4.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2$